18. Výuka počtů a úvod do aritmetiky
První pomůckou, kterou použijeme pro výuku počítání, je řada deseti tyček, které jsme používali již při smyslových cvičeních pro
vysvětlení délky. Tyčky seřadíme od jedničky do desítky podle jejich délky. Ta nejkratší je dlouhá čtyři palce (pozn. překl. asi 10 cm), druhá osm, a tak dále až k té nejdelší, která měří 40 palců. Narozdíl od jednobarevných tyček,
které jsme používali pro cvičení oka, aby rozlišovalo délku, při výuce počtů použijeme tyčky barevné. Jednotlivé čtyřpalcové dílky jsou střídavě modré a červené, a tak je lze na každé tyčce snadno spočítat. Prvá tyčka znamená číslo
1, ostatní pak popořadě čísla od dvojky až do desítky. Výhodou této pomůcky je, že představuje jednotky spojené v celek, jednotky, které jsou jasně odlišené a počitatelné. Každá tyčka představuje určité číslo. Tak například tyčka 5
jako celek představuje, symbolizuje, číslo 5, ale barevné rozlišení umožňuje si spočítat oněch 5 jednotek v ní. Tím je překonána jedna velká obtíž a to přičítání jednotek jednu po druhé v celkový počet. Jestliže používáme pro
ukázku počítání malé předměty jakéhokoliv tvaru, například malé kostky stejné velikosti, proč učitelka, když položí první kostku, řekne 1, a když položí druhou, řekne 2 a tak dále? Malé dítě má totiž sklon říci jedna u každého nového
předmětu, který přidáme. A tak by řeklo 1, 1, 1, 1, 1 namísto 1, 2, 3, 4, 5.
Pochopit, že přidáním další jednotky k celku vznikne nový celek, činí dětem ve věku od tří a půl do čtyř let velký problém. A sestavování
samostatných jednotek v jediný celek je duševní proces, který přesahuje chápání těchto dětí. Většina z nich počítá tak, že zpaměti recituje čísla v jejich pořadí, ale neumí si představit, kolik jednotek obsahuje to které číslo.
Počítání prstů, rukou nebo nohou je pro dítě velmi užitečné, protože je může vnímat jako neměnný celek, vždy spojený s určitým množstvím. Ví, že má dvě ruce a dvě nohy.
Někdy dítě umí s jistotou spočítat prsty na ruce, ale stále
je pro něho těžké pochopit, proč jeden prst je jedna a jiný prst je pět, když je prst jako prst. O něco starší děti už toto zvládají bez rozpaků. Dětské myšlení se vyznačuje neobyčejným smyslem pro přesnost a konkrétnost a pomůcky,
které používáme, musí být jasné a správné. Když dáme dětem do rukou číselné/počtářské tyčky, projevují živý zájem o počítání i ti nejmenší.
Tyčky představují čísla (viz obr. str. 46 nahoře, i obr. dole?) a prodloužení jejich délky
je pravidelné, vždy o jednu jednotku, dílek. Proto představují nejenom absolutní, ale také relativní čísla. Jejich rozměry nejsou náhodné; to jsme si ověřili už při smyslových cvičeních. Teď je budeme hodnotit z hlediska
matematického a tak se dostáváme k úvodu do aritmetiky. Tyto tyče, čísla, lze porovnávat, manipulovat s nimi, vytvářet různé kombinace a srovnání. Tak například položením tyčky o jedné jednotce do řady s tyčkou o dvou jednotkách,
vytvoříme délku rovnou délce tyčky o třech jednotkách. Spojením tyčky o třech jednotkách s tyčí o dvou jednotkách získáme délku tyče o pěti jednotkách.
Nejzajímavější cvičení je ale to, kdy seřadíme tyče vedle sebe podle velikosti,
přesně tak jak byly seřazeny při smyslových cvičeních. Docílíme, že vypadají jako píšťaly varhan a jejich modré a červené barvy tvoří krásné příčné pruhy. Když potom dítě přiloží tyčku jedna k devítce, dvojku k osmičce, trojku k
sedmičce a čtyřku k šestce, zjistí, že jejich délka se rovná délce té nejdelší tyčky, desítky. Přesouváním tyček určité velikosti a představujících určitý počet, se dostáváme na počátek aritmetických operací. Zatímco si dítě
příjemně hraje přesouváním předmětů, jeho rozum, intelekt, namísto usilovné snahy pochopit, že skupina jednotlivých předmětů jako celek vyjadřuje určité číslo, věnuje svou energii náročnějšímu cvičení, a sice určování a sčítání
hodnot. Překážka byla odstraněna, dítě nyní veškerou duševní energii vkládá do hry a jeho učení postupuje tak rychle, jak jen to jeho věk umožňuje.
Jakmile dítě začne číst a psát, je pro něho jednoduché naučit se číslice, které
patří k danému číslu. Podáváme dítěti kartičky s číslicemi na pískovém papíře a současně písmena abecedy. Obtahováním číslice prsty se dítě naučí, jak ji psát a současně se naučí její název. Když se dítě učí číst kartičku, je
položená na tyči odpovídající hodnoty. Spojení psané číslice a odpovídající hodnoty působí obdobně jako cvičení, při kterém se kartička se jménem předmětu umístí na daný předmět. Toto cvičení může dítě později provádět i samo.
I pětileté děti se tímto způsobem naučí znát a psát číslice.
Tyčky jsou pro dítě základní pomůckou, se kterou se začíná věnovat aritmetice. Kromě nich používáme ještě další dvě pomůcky. Jedna z nich slouží k počítání oddělených
jednotek a pomáhá dítěti pochopit numerické skupiny/množiny, a současně pevně ukládá do jeho paměti posloupnost následujících znaků: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Této pomůcce říkáme vozíček s vřetýnky. Má přihrádky, každou z nich
popořadě očíslovanou. Dítě vkládá do každé z přihrádek odpovídající množství vřetýnek.
Druhou pomůckou je balíček kartiček a krabice, která obsahuje rozličné předměty (barevné fixy). Karty jsou očíslovány od jedničky do
desítky, jsou promíchány a dítě je musí nejprve seřadit ve správném pořadí. Tím ukáže, že zná číselnou řadu a že umí rozlišovat jednotlivé číslice. Pod každou kartičku, t.j. pod každé číslo, potom položí odpovídající množství
barevných fixů, vždy po dvou, každý následující pár pod ten předchozí. Tak se dítě učí současně rozlišovat sudá a lichá čísla.
Toto jsou veškeré pomůcky, které považujeme pro výuku početních a aritmetických operací za potřebné a
nezbytné.
19. Další vývoj v aritmetice
Považovali jsme za důležité, aby děti uměly počítat do sta a uměly provádět početní operace pomocí cvičení, ve kterých se rozumové studium základních čísel kombinuje s
jednoduchým počítáním a to proto, že jsme dali přednost rozumovému přístupu k aritmetice před systémem založeným na mechanické paměti.
Po více než dvacet let jsme v našem vyučování používali právě tato cvičení.
Vždycky jsem si
myslela, právě tak jako všichni ostatní, že aritmetika je příliš těžká a že by bylo bláhové vyžadovat od dětí v tak raném věku více, než čeho jsme dosáhli.
Ze zkušenosti jsme věděli, že ve srovnání s psaním, kterému se věnovaly s
nadšením a dosahovaly v něm překvapivých výsledků, projevovaly děti o aritmetiku pouze malý zájem. A větší zájem o studium jazyka jenom potvrzoval už vžitý předsudek, že aritmetika je předmět těžký a suchopárný.
Náš systém výuky
počtů u malých dětí měl takový úspěch, že jsme se tehdy rozhodli rozšířit jej i na vyšší ročníky prvního stupně základní školy. Začala jsem připravovat pro děti pomůcku, která ztvárňovala čísla v geometrických formách a jako
pohyblivé předměty, které by dětem umožnily čísla všelijak kombinovat. Nazvali jsme ji "korálkovou pomůckou". Čísla jsou tvořena tyčinkami, označenými od jedničky do desítky. Na každé tyčince - drátu - je navlečeno deset
skleněných kuliček, vždy od jedné barvy. Každé číslo (tyčka) má svou barvu. Takže deset tyčinek krát deset kuliček tvoří čtverec o stu kuliček. A konečně. deset takových čtverců umístěných na sebe a spojených, tvoří krychli,
obsahující tisíc kuliček. Tato pomůcka byla popsána v knize, která se zabývá metodou vzdělávání dětí na druhém stupni základní školy. (The Advanced Montessori Method.)
Některým čtyřletým dětem se tato kostka, která se snadno
přenáší a snadno se s ní pracuje, velice zalíbila, a k našemu velikému překvapení ji začaly používat tak jak to viděly u svých starších spolužáků.
Jejich nadšení pro práci s čísly, zejména s desítkovou soustavou, nesmírně vzrostlo
a aritmetika se najednou stala jejich nejoblíbenějším předmětem.
Čtyřleté děti sestavovaly čísla až do tisíce; a postupem času se děti ve věku pěti až šesti let tak výrazně zlepšily, že dnešní šestileté děti provádějí číselné
operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s čísly od jedné do tisíce.
Mario M. Montessori pomohl dotvořit tento program tak, že si děti dokáží odvodit druhou odmocninu dvou, tří a dokonce čtyřmístných čísel. Navíc jsme dětem
předvedli jak používat numerické/číselné tyčinky k řešení jednoduchých algebraických úkolů.
Zjevné potěšení, které děti projevovaly při těchto cvičeních a jejich schopnost pracovat s těmito malými geometrickými pomůckami mne
podnítilo k vytvoření předmětů, připomínajících Froebelovy slavné "hlavolamy" z krychlí a hranolů, umístěných do kostky. Namísto, abych udělala všechny hranoly a krychle podobné, měla jsem velkou dřevěnou krychli, o hraně 4
palce (10 cm), rozdělenou na dvě nestejné části a pak na další tři nestejné části. Když byla krychle takto rozdělena, vznikly z ní malé krychličky a pravouhlé hranoly různých tvarů. Tato pomůcka vyjadřovala algebraický vzorec, třetí
mocninu dvoučlenu a trojčlenu. Mnohostěny o stejné desetinné hodnotě měly stejnou barvu a každá skupina stejných mnohostěnů měla svou barvu.
Dítě vidí na první pohled jen jediný předmět, krychli pomalovanou mnoha barvami, (viz
obr. str. 24 nahoře) s jejími jednotlivými částmi uspořádanými ve skupinách; například trojčlen obsahuje tři krychle rozdílné velikosti a tři různých barev; ten samý počet hranolů se čtvercovými základnami jedné barvy, například
zelené; dále jsou tam tři další hranoly se čtvercovou základnou, ale odlišného tvaru, vybarvené např. žlutě; sada dalších tří hranolků, tvarově odlišných, např. modrých a konečně šest stejných hranolků, které mají obdélníkové stěny
vybarveny černě, stejně jako jsou černé všechny obdélníkové stěny všech ostatních hranolků. Tyto malé barevné předměty dítě fascinují. Nejprve je musí seskupit podle barev, potom jimi vypráví příběh o třech králích (každého krále
zastoupí jedna krychlička), z nichž každý má družinu stejně velikou jako ti dva druzí, a stráže, které jsou černě oblečené. S touto pomůckou se dá znázornit mnohé, i následující algebraický vzorec:
a3 + 3a
2b + 3a2c + b3 + 3b2a + 3b2c + c3 + 3c2a + 3c2b + 6abc
Nakonec dítě složí krychličky zpátky ve správném pořadí a tím vrátí velké
mnohobarevné krychli její podobu, (a + b + c) 3 .
Při hře s touto pomůckou si dítě vytváří vizuální představu, obraz, prostorového uspořádání předmětů a pamatuje si pak jejich pořadí a počet.
Smyslové vjemy,
získané při práci s touto krychlí, jsou pomůckou pro myšlení. Těžko bychom hledali předmět, který by pro čtyřleté dítě byl zajímavější. Později, když pojmenuje tři krále coby a,b, c a píše názvy jednotlivých částeček
podle toho, ke kterému králi patří, si již pětileté dítě (a docela určitě šestileté) vytváří v mysli algebraický vzorec krychle coby trojčlenu, bez toho, že by ji muselo mít před sebou, protože její představu a způsob, jak ji složit
(ze třech králů), si pevně zapsalo do vizuální paměti. Z toho vidíme, co vše je možné v praxi dosáhnout.
Vyučování aritmetiky a principů algebry pomocí vhodných praktických pomůcek, které napomáhají myšlení, může přinést doslova
fantastické výsledky. Dokazují, že výuku aritmetiky je třeba zcela přepracovat. Měla by začínat smyslovým vnímáním a vycházet z poznávání konkrétních předmětů.
Je zřejmé, že pokud bychom poslali námi připravené šestileté děti do
běžné školy, kde se ostatní děti teprve učí počítat jedna, dva, tři, asi by je to nebavilo. Pokud mají pokračovat v nádherné cestě za poznáním, kterou nastoupily, je třeba radikálně zreformovat základní školy.
Systém výuky, při
kterém dítě neustále zaměstnává svoje ruce vhodnými předměty a aktivně procvičuje svoje smysly, také přihlíží ke zvláštnímu nadání, které dítě pro matematiku má. Poté, co si děti přestanou s pomůckou hrát, přejí si zapsat matematický
úkon, který prováděly. Tím dítě přechází k abstraktním matematickým úkonům a rozvíjí přirozenou a spontánní náklonnost k počítání zpaměti..
Jako například jedno anglické dítě, které, když v Londýně vystupovalo se svou matkou
z tramvaje, řeklo: "Kdyby všichni plivali na zem, pokuta by dělala tak 34 liber." Všimlo si totiž značky, která říkala, že za plivání na ulici je pokuta ve výši tolik a tolik šilinků. A potom trávilo svůj čas tím, že v duchu
propočítávalo celkovou výši pokuty a převádělo šilinky na libry.
